Ao longo do desenvolvimento do processo histórico da humanidade, em muitas situações o homem tem sido atraído por problemas de otimização sempre com o objetivo de encontrar um resultado ótimo, ou seja, o melhor resultado empregando recursos mínimos. De acordo com certos critérios pré-estabelecidos, os problemas de máximos e mínimos são modelados com ferramentas pertencentes ao campo da Matemática. Elaborado a partir de revisão sistemática  e  aprofundada  da  literatura e com ênfase em Matemática, o presente trabalho, de pesquisa bibliográfica, pretende mostrar, de forma suscinta, o desenvolvimento de algumas ideias matemáticas sobre problemas de máximos e mínimos. Começando pelos fundamentos conceituais da função quadrática, passando pelas derivadas com as técnicas de obtenção de máximos e mínimos, finalizamos a parte teórica expondo princípios de Cálculo Variacional, com destaque para equação de Euler, com e sem restrições ou vínculos, que generalizam os problemas de otimização. Como forma de aplicação das ideias de máximos e mínimos, apresentaremos problemas e propostas de soluções. Iniciaremos com situações-problemas inerentes ao ensino médio sobre função quadrática presentes em livros didáticos, bem como em exames externos como vestibulares regionais e ENEM. Na sequência, apresentamos problemas utilizando como técnicas as derivadas, especialmente recorrendo às técnicas para obtenções de máximos e mínimos. Finalmente, utilizamos a equação de Euler, com e sem vínculos, para resolução de problemas clássicos do Cálculo Variacional, dentre eles o caminho mínimo entre dois pontos, o problema histórico da braquistócrona e o problema isoperimétrico da lenda de Dido.